IE221/2559 Engineering Mathematics Examples [NEWTON-REPHSON METHOD, GAUSS ELIMINATION, LAGRANGE INTERPOLATION]

นายโชคก้องภพ ตามสุขสนธิ์ คณะวิศวกรรมศาสตร์ รหัส 1580901179ชั้นปีที่ 2 ส่งงาน ทำคลิป YouTube

วันนี้เราจะมาติวกันเรื่องดังต่อไปนี้ครับ รายระเอียดอยู่ในคลิปเลยครับ 

 

คลิปแรกเป็นการแก้โจทย์ การหารากของสมการด้วยวิธีนิวตัน-ราฟสัน
NEWTON-REPHSON METHOD

ขั้นตอนการคำนวณของ Newton Method

1. กำหนดค่าเริ่มต้น x0
2. คำนวณค่า f( x0) และ f'(x0)
3. เริ่มการทำซ้ำรอบที่ 1 (1st iteration (n=n+1)) โดยการนำค่าทั้งหมดที่คำนวณไปแทนในสูตรเพื่อหาค่า x1
4. ทำการตรวจสอบ error โดยการเปรียบเทียบ |x1-x0| < error หรือไม่
YES : ได้ x1 เป็นรากของสมการ
NO : ทำขั้นตอนต่อไป
5. ทำการตรวจสอบจำนวนรอบ โดยการเปรียบเทียบ n > จำนวนรอบที่กำหนดหรือไม่
YES : ได้ x1 เป็นรากของสมการ
NO : กลับไปทำในขั้นตอนที่ 2 เพื่อคำนวณหาค่า f(x) ตัวต่อไป

ตัวอย่าง Newton’s Method

จงหารากที่สามของ a เมื่อ a = 155 กำหนดให้ค่าความผิดพลาด โดยการใช้วิธีของ Newton

วิธีการ

การหารากที่สามของ a สามารถเขียนได้เป็นสมการได้ดังนี้คือ หรือเขียนในรูปฟังก์ชันจะได้ว่า การหาคำตอบโดยวิธีของ Newton สามารถสรุปเป็นขั้นตอนได้ดังนี้

ขั้นเตรียม กำหนดค่าเริ่มต้นในการหา Root จะได้ค่า

Iteration 1:

ขั้นที่ 1 หาค่า โดยการนำไปแทนในสมการ และ

ขั้นที่ 2 หาค่า x ตัวถัดไปจากสมการ

ขั้นที่ 3 เปรียบเทียบค่า หรือไม่ ถ้าใช่ค่า ที่ได้คือคำตอบ

เพราะฉะนั้น

 

 

Iteration 2:

กลับไปเริ่มต้นทำในขั้นที่ 1 อีกครั้ง โดยการนำค่า x ใหม่ไปแทนค่า x เดิม

ค่าที่คำนวณได้สามารถแสดงได้ดังตาราง ซึ่งค่า x สุดท้ายคือคำตอบของสมการดังนี้

Iteration No.

x

error

0

5

1

5.4 0.4

2

5.371834 0.028166

3

5.371686 0.000148

4

5.371686 0.00

 

 

 

 

คลิปที่ 2 การแก้สมการเชิงเส้นด้วยวิธีการกำจัดแบบเกาส์
GAUSS ELIMINATION

ขั้นตอนการคำนวณของ Gauss Elimination
  • ในการคำนวณระบบสมการเชิงเส้นนั้นเรามักจะมองให้อยู่ในรูปของการคูณเมตริกซ์คือ Ax = y
  • โดยจะนำเฉพาะค่าสมาชิกในเมตริกซ์ A และ y มาใช้เท่านั้น โดยเขียนใหม่ได้คือ
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,N y1 R1
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,N y2 R2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
aN,1 aN,2 aN,3 . . . aN,N yN RN

เมื่อ RN แทนลำดับของแถว หรือ ลำดับของสมการ

  • จากนั้นเริ่มใช้วิธี Forward Eimination โดยทำให้ค่าในเมตริกซ์เปลี่ยนเป็นดังนี้
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,N y1
R1
0 a’2,2 a’2,3 . . . a’2,N y’2
R’2 = R2 – R1*(a2,1/a1,1)
0 .
.
.
.
.
.
0 a’N,2 a’N,3 . . . a’N,N y’N
R’N = RN – R1*(aN,1/a1,1)
ค่า a’N,N ใหม่ที่ได้มานั้นเกิดจากการนำสมการที่ 1 หรือ R1 มาใช้เป็นสมการอ้างอิงโดยมีหลักการคือ นำค่า a1,1 มาหารตลอดสมการ R1 จากนั้นนำค่าของ aN,1 ในแต่ละสมการที่ต้องการหามาคูณเข้าไป แล้วจึงนำมาลบออกจากสมการนั้น ๆ เช่น

# การหาค่าใหม่ของ R’2 จะต้องนำค่า a1,1 มาหาร R1 จากนั้นนำค่าที่ได้ไปคูณกับ a2,1 แล้วจึงนำมาลบออกจาก R2 อีกครั้ง จึงได้สมการออกมาเป็น R’2 = R2 – R1*(a2,1/a1,1)

  • เมื่อกำจัดตัวแปรตัวแรกได้แล้ว จึงเริ่มกำจัดตัวต่อ ๆ ไป โดยใช้้วิธีเดียวกัน เพียงแต่เปลี่ยนมาใช้สมการที่ 2 หรือ R2 มาเป็นสมการอ้างอิงแทน ผลที่ได้จะมีลักษณะดังนี้
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,N y1
R1
0 a’2,2 a’2,3 . . . a’2,N y’2
R’2
0 0 .
.
.
.
.
.
0 0 a”N,3 . . . a”N,N y”N
R”N = R’N – R’2*(a’N,2/a’2,2)
  • เมื่อกำจัดตัวแปรถึงตัวสุดท้ายจะได้เป็น
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,N y1
0 a’2,2 a’2,3 . . . a’2,N y’2
0 0 .
.
.
0 0 0 . . . a(N-1)N,N y(N-1)N
  • ที่สมการสุดท้ายให้ทำการแทนค่าย้อนกลับขึ้นมาโดยจะได้ค่า xN , xN-1 , . . . , x1 ตามลำดับ

มาดูวิธีทำกันดีกว่าครับ

 

 

 

คลิปที่ 3  การประมาณค่าด้วยวิธีลากรานจ์
LAGRANGE INTERPOLATION

สมมุติว่าเรามีข้อมูลอยู่เพียง 2 ข้อมูล อธิบายได้ด้วยสมการ ดังนี้

f(x) = ax = b

โดย a และ b เป็นค่าคงตัวที่ไม่รู้ค่าซึ่งสามารถหาได้จากเงื่อนไขที่ตำแหน่งx0 และ x1 ดังนี้

ที่          x = x0 : f(x0) = ax0 + b

ที่          x = x1 : f(x1) = ax1 + b

f(x) = [ (x1-x) / (x1-x0) ] f(x0) +  [ (x0-x) / (x0-x1) ] f(x0)

f(x) = L0 (x) f (x0) + L1 (x) f(x1)

L0(x) = (x1-x) / (x1-x0)  และ L1(x) = (x0-x) / (x0-x1)

ฟังก์ชัน L0(x) และ L1(x) นี้เรียกว่าฟังก์ชันการประมาณค่าในช่วงของลากรานจ์ (Lagrange interpolation polynomials)

 

จบไปแล้วนะครับสำหรับบทความเกี่ยวกับเรื่อง การประมาณค่าด้วยวิธีลากรานจ์
LAGRANGE INTERPOLATION,การแก้สมการเชิงเส้นด้วยวิธีการกำจัดแบบเกาส์
GAUSS ELIMINATION,การหารากของสมการด้วยวิธีนิวตัน-ราฟสัน
NEWTON-REPHSON METHOD 

ขอบคุณที่รับชมน่ะครับผิดพลาดประการใดขออภัยด้ยน่ะครับ

CHOKKONGPOB TAMSUKSON
at GlurGeek.Com
ชื่อ นายโชคก้องภพ ตามสุขสนธิ์ คณะวิศวกรรมศาสตร์ อยู่ชั้น ปีที่ 2 มีงานอดิเรกคือ ชอบออกกำลังกายหรือเดินทางท่องเที่ยวไปสถานที่ต่างๆที่ไม่เคยไป

Leave a Reply

Copyright © 2021 GlurGeek.Com. All Rights Reserved.