นายโชคก้องภพ ตามสุขสนธิ์ คณะวิศวกรรมศาสตร์ รหัส 1580901179ชั้นปีที่ 2 ส่งงาน ทำคลิป YouTube
วันนี้เราจะมาติวกันเรื่องดังต่อไปนี้ครับ รายระเอียดอยู่ในคลิปเลยครับ 
คลิปแรกเป็นการแก้โจทย์ การหารากของสมการด้วยวิธีนิวตัน-ราฟสัน
NEWTON-REPHSON METHOD
ขั้นตอนการคำนวณของ Newton Method
| 1. | กำหนดค่าเริ่มต้น x0 | |
| 2. | คำนวณค่า f( x0) และ f'(x0) | |
| 3. | เริ่มการทำซ้ำรอบที่ 1 (1st iteration (n=n+1)) โดยการนำค่าทั้งหมดที่คำนวณไปแทนในสูตรเพื่อหาค่า x1 | |
 |
||
| 4. | ทำการตรวจสอบ error โดยการเปรียบเทียบ |x1-x0| < error หรือไม่ | |
| YES : | ได้ x1 เป็นรากของสมการ | |
| NO : | ทำขั้นตอนต่อไป | |
| 5. | ทำการตรวจสอบจำนวนรอบ โดยการเปรียบเทียบ n > จำนวนรอบที่กำหนดหรือไม่ | |
| YES : | ได้ x1 เป็นรากของสมการ | |
| NO : | กลับไปทำในขั้นตอนที่ 2 เพื่อคำนวณหาค่า f(x) ตัวต่อไป | |
ตัวอย่าง Newton’s Method
จงหารากที่สามของ a เมื่อ a = 155 กำหนดให้ค่าความผิดพลาด 
วิธีการ
การหารากที่สามของ a สามารถเขียนได้เป็นสมการได้ดังนี้คือ 
ขั้นเตรียม กำหนดค่าเริ่มต้นในการหา Root จะได้ค่า 
Iteration 1:
ขั้นที่ 1 หาค่า 
ขั้นที่ 2 หาค่า x ตัวถัดไปจากสมการ 
ขั้นที่ 3 เปรียบเทียบค่า 
เพราะฉะนั้น
Iteration 2:
กลับไปเริ่มต้นทำในขั้นที่ 1 อีกครั้ง โดยการนำค่า x ใหม่ไปแทนค่า x เดิม
ค่าที่คำนวณได้สามารถแสดงได้ดังตาราง ซึ่งค่า x สุดท้ายคือคำตอบของสมการดังนี้
|
Iteration No. |
x |
error |
|
0 |
5 | – |
|
1 |
5.4 | 0.4 |
|
2 |
5.371834 | 0.028166 |
|
3 |
5.371686 | 0.000148 |
|
4 |
5.371686 | 0.00 |
คลิปที่ 2 การแก้สมการเชิงเส้นด้วยวิธีการกำจัดแบบเกาส์
GAUSS ELIMINATION
-
ในการคำนวณระบบสมการเชิงเส้นนั้นเรามักจะมองให้อยู่ในรูปของการคูณเมตริกซ์คือ Ax = y
-
โดยจะนำเฉพาะค่าสมาชิกในเมตริกซ์ A และ y มาใช้เท่านั้น โดยเขียนใหม่ได้คือ
| a1,1 | a1,2 | a1,3 | . . . | a1,N | y1 | R1 | |
| a2,1 | a2,2 | a2,3 | . . . | a2,N | y2 | R2 | |
| . . . |
. . . |
. . . |
|||||
| aN,1 | aN,2 | aN,3 | . . . | aN,N | yN | RN |
เมื่อ RN แทนลำดับของแถว หรือ ลำดับของสมการ
-
จากนั้นเริ่มใช้วิธี Forward Eimination โดยทำให้ค่าในเมตริกซ์เปลี่ยนเป็นดังนี้
| a1,1 | a1,2 | a1,3 | . . . | a1,N | y1 |
R1
|
|
| 0 | a’2,2 | a’2,3 | . . . | a’2,N | y’2 |
R’2 = R2 – R1*(a2,1/a1,1)
|
|
| 0 | . . . |
.
. . |
|||||
| 0 | a’N,2 | a’N,3 | . . . | a’N,N | y’N |
R’N = RN – R1*(aN,1/a1,1)
|
ค่า a’N,N ใหม่ที่ได้มานั้นเกิดจากการนำสมการที่ 1 หรือ R1 มาใช้เป็นสมการอ้างอิงโดยมีหลักการคือ นำค่า a1,1 มาหารตลอดสมการ R1 จากนั้นนำค่าของ aN,1 ในแต่ละสมการที่ต้องการหามาคูณเข้าไป แล้วจึงนำมาลบออกจากสมการนั้น ๆ เช่น# การหาค่าใหม่ของ R’2 จะต้องนำค่า a1,1 มาหาร R1 จากนั้นนำค่าที่ได้ไปคูณกับ a2,1 แล้วจึงนำมาลบออกจาก R2 อีกครั้ง จึงได้สมการออกมาเป็น R’2 = R2 – R1*(a2,1/a1,1)
-
เมื่อกำจัดตัวแปรตัวแรกได้แล้ว จึงเริ่มกำจัดตัวต่อ ๆ ไป โดยใช้้วิธีเดียวกัน เพียงแต่เปลี่ยนมาใช้สมการที่ 2 หรือ R2 มาเป็นสมการอ้างอิงแทน ผลที่ได้จะมีลักษณะดังนี้
| a1,1 | a1,2 | a1,3 | . . . | a1,N | y1 |
R1
|
|
| 0 | a’2,2 | a’2,3 | . . . | a’2,N | y’2 |
R’2
|
|
| 0 | 0 | . . . |
.
. . |
||||
| 0 | 0 | a”N,3 | . . . | a”N,N | y”N |
R”N = R’N – R’2*(a’N,2/a’2,2)
|
-
เมื่อกำจัดตัวแปรถึงตัวสุดท้ายจะได้เป็น
| a1,1 | a1,2 | a1,3 | . . . | a1,N | y1 | |
| 0 | a’2,2 | a’2,3 | . . . | a’2,N | y’2 | |
| 0 | 0 | . . . |
||||
| 0 | 0 | 0 | . . . | a(N-1)N,N | y(N-1)N |
-
ที่สมการสุดท้ายให้ทำการแทนค่าย้อนกลับขึ้นมาโดยจะได้ค่า xN , xN-1 , . . . , x1 ตามลำดับ
มาดูวิธีทำกันดีกว่าครับ
คลิปที่ 3 การประมาณค่าด้วยวิธีลากรานจ์
LAGRANGE INTERPOLATION
สมมุติว่าเรามีข้อมูลอยู่เพียง 2 ข้อมูล อธิบายได้ด้วยสมการ ดังนี้
f(x) = ax = b
โดย a และ b เป็นค่าคงตัวที่ไม่รู้ค่าซึ่งสามารถหาได้จากเงื่อนไขที่ตำแหน่งx0 และ x1 ดังนี้
ที่ x = x0 : f(x0) = ax0 + b
ที่ x = x1 : f(x1) = ax1 + b
f(x) = [ (x1-x) / (x1-x0) ] f(x0) + [ (x0-x) / (x0-x1) ] f(x0)
f(x) = L0 (x) f (x0) + L1 (x) f(x1)
L0(x) = (x1-x) / (x1-x0) และ L1(x) = (x0-x) / (x0-x1)
ฟังก์ชัน L0(x) และ L1(x) นี้เรียกว่าฟังก์ชันการประมาณค่าในช่วงของลากรานจ์ (Lagrange interpolation polynomials)
จบไปแล้วนะครับสำหรับบทความเกี่ยวกับเรื่อง การประมาณค่าด้วยวิธีลากรานจ์
LAGRANGE INTERPOLATION,การแก้สมการเชิงเส้นด้วยวิธีการกำจัดแบบเกาส์
GAUSS ELIMINATION,การหารากของสมการด้วยวิธีนิวตัน-ราฟสัน
NEWTON-REPHSON METHOD
ขอบคุณที่รับชมน่ะครับผิดพลาดประการใดขออภัยด้ยน่ะครับ
