สอนการแก้โจทย์ปัญหา Engineering MATH เรื่อง FOURIER TRANSFORM, LAGRANGE INTERPOLATION, and NEWTON RAPHSON By Sir Manun

สวัสดีครับวันนี้เราจะมาพูดในเรื้่อง 3 เรื่องนะครับ ได้แก่ FOURIER TRANSFORM       LAGRANGE INTERPOLATION

NEWTON RAPHSON

โดยเราจะมาเริ่มกันที่ FOURIER TRANSFORM

การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง

โดยปกติแล้วคำ “การแปลงฟูรีเย” จะใช้หมายถึง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชัน f (t) ที่สามารถหาปริพันธ์ของกำลังสองได้ ด้วยผลบวกของ ฟังก์ชัน เอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อน ซึ่งมี ความถี่เชิงมุม ω และ ขนาด (หรือ แอมปลิจูด) เป็นจำนวนเชิงซ้อน F (ω) ;

{\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}(F)(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .}{\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}(F)(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .}

ความสัมพันธ์ด้านบนคือ การแปลงกลับของ การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง (Inverse Fourier transform) ส่วนการแปลงฟูรีเยนั้นปกติจะเขียน F (ω) ในรูปของ f (t) คู่ของ ฟังก์ชันดั้งเดิม และ ผลของการแปลงของฟังก์ชันนั้น บางครั้งก็เรียก คู่ของการแปลง (transform pair) ดูข้อมูลเพิ่มเติมที่ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ภาคขยายของการแปลงนี้คือ การแปลงฟูรีเยแบบไม่เป็นจำนวนเต็ม (fractional Fourier transform) ซึ่งค่ายกกำลังของการแปลง (จำนวนการแปลงซ้ำ) นั้นไม่จำเป็นจะต้องเป็นจำนวนเต็ม สามารถเป็นค่าจำนวนจริงใดๆ

เมื่อ f (t) เป็น ฟังก์ชันคู่ (ฟังก์ชันคี่) เทอม ไซน์ (โคไซน์) จะไม่ปรากฏ ซึ่งคงเหลือไว้แต่ การแปลงโคไซน์ และ การแปลงไซน์ ตามลำดับ อีกกรณีหนึ่งคือ เมื่อ f (t) เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะทำให้ F (−ω)  = F (ω) *

อนุกรมฟูรีเย[แก้]

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องนั้นเป็นภาคขยาย ของแนวความคิดที่เกิดก่อนหน้านั้น คือ อนุกรมฟูรีเย ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชันคาบ (หรือฟังก์ชัน ในโดเมนจำกัด) f (x) (มีคาบ 2π) ด้วย อนุกรม ของฟังก์ชันรูปคลื่น:

{\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx},}{\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx},}

ซึ่ง {\displaystyle F_{n}}{\displaystyle F_{n}} เป็น ค่าจำนวนเชิงซ้อนของขนาด หรือ ค่าจริงของขนาดเมื่อ ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันค่าจริง อนุกรมฟูรีเยยังอาจเขียนในรูป:

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right],}{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right],}

โดย an และ bn เป็นค่าจำนวนจริงของขนาด ของอนุกรมฟูรีเย

การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง

สำหรับการคำนวณด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ ค่าสัญญาณในทั้งสองโดเมนจำเป็นต้องมีค่าเป็นดิจิทัล ซึ่งคือฟังก์ชันค่าไม่ต่อเนื่อง {\displaystyle x[n]}{\displaystyle x[n]} บนโดเมนไม่ต่อเนื่อง แทนที่จะเป็นโดเมนต่อเนื่อง ในช่วงจำกัด หรือ เป็นคาบ ในกรณีนี้เราจะใช้ การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง (discrete Fourier transformDFT) ซึ่งเขียนแทน {\displaystyle x[n]}{\displaystyle x[n]} ด้วยผลบวกของฟังก์ชันคาบ

{\displaystyle x[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{2\pi ink/N}\quad \quad n=0,\dots ,N-1}{\displaystyle x[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{2\pi ink/N}\quad \quad n=0,\dots ,N-1}
โดยตัวอย่างการทำ สามารถดูได้ที่วีดิโอนี้เลยครับ  YouTube Preview Image

 

2.NEWTON RAPHSON

หลักการของ Newton Method

  • เป็นระเบียบวิธีแบบเปิดที่เริ่มจากค่าเริ่มต้นเพียงค่าเดียว
  • เป็นวิธีที่อาจนำไปสู่ผลลัพธ์ได้โดยรวดเร็ว
  • เป็นวิธีที่นิยมใช้กันอย่างแพร่หลายโดยเฉพาะสำหรับงานปฏิบัติ
  • โดยปกติการหา root โดยวิธีนี้ควรจะทราบค่าของผลลัพธ์โดยคร่าว ๆ ก่อน
  • เป็นระเบียบวิธีที่ตั้งอยู่บนรากฐานของการใช้อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series)
  • จากหลักการของ Taylor Series ที่ x = x0 สามารถเขียนเป็นในรูป Taylor expansion ได้ดังนี้

    f(x) = f(x0) + hf'(x0) + O(h2) เมื่อ h = x – x0

    แทนค่า h ลงในสมการ f(x) จะได้ว่า

    y = f(x) = f(x0) + (x – x0)f'(x0) + O(h2) = 0

    พิจารณา Tangential Line ที่ผ่านจุด x0, f(x0) จะมีสมการเป็น

    g(x) = f'(x0)(x – x0) + f(x0)

    โดยที่ root ของ g(x) คือ x1 (ตำแหน่งที่สมการ g(x) ตัดกับแกน x) ดังนั้น

    g(x1) = 0 = f'(x0)(x1 – x0) + f(x0)

    จากนั้นย้ายค่า x1 มาไว้ทางด้านซ้ายมือของสมการ

    สรุปสูตรที่ใช้ในการหา root คือ

     

    และค่า f'(xi-1) สามารถคำนวณได้ 2 วิธี คือ

    1. Forward difference approximation : การประมาณค่าอนุพันธ์แบบไปข้างหน้า

    2. Backward difference approximation : การประมาณค่าอนุพันธ์แบบย้อนกลับ

    ขั้นตอนการคำนวณของ Newton Method

    1. กำหนดค่าเริ่มต้น x0
    2. คำนวณค่า f( x0) และ f'(x0)
    3. เริ่มการทำซ้ำรอบที่ 1 (1st iteration (n=n+1)) โดยการนำค่าทั้งหมดที่คำนวณไปแทนในสูตรเพื่อหาค่า x1
    4. ทำการตรวจสอบ error โดยการเปรียบเทียบ |x1-x0| < error หรือไม่
    YES : ได้ x1 เป็นรากของสมการ
    NO : ทำขั้นตอนต่อไป
    5. ทำการตรวจสอบจำนวนรอบ โดยการเปรียบเทียบ n > จำนวนรอบที่กำหนดหรือไม่
    YES : ได้ x1 เป็นรากของสมการ
    NO : กลับไปทำในขั้นตอนที่ 2 เพื่อคำนวณหาค่า f(x) ตัวต่อไป

    โดยตัวอย่างการทำโจทย์สามารถดูได้จากลิงค์นี้ได้เลยครับYouTube Preview Image

3.LAGRANGE INTERPOLATION

บทนำ

การทดลองส่วนใหญ่ในทางปฏิบัติทั้งทางด้านวิศวกรรสศาสตร์และวิทยาศาสตร์มักให้ผลลัพธ์ในลักษณะของข้อมูลตามตำแหน่งต่างๆ ข้อมูลจากการทดลองที่ได้นี้เป็นข้อมูลเพียบบางจุดบางตำแหน่งเท่านั้น มีบ่อยครั้งทีเดียวที่วิศวกรรมหรือนักวิทยาศาสตร์ต้องการทราบข้อมูลเหล่านี้ที่ตำแหน่งอื่นๆ ซึ่งต่างไปจากตำแหน่งที่ได้วัดค่ามา ความเข้าใจในการประมานค่าในช่วง (interpolation) และการประมานค่านอกช่วง (extrapolation) ที่เราจะศึกษากันในบทนี้ จึงมีความสำคัญที่สามารถนำไปสู่การคำนวณเพื่อหาค่าที่เที่ยงตรงตามตำแหน่งอื่นๆ นอกเหนือจากตำแหน่งที่วัดได้จากการทดลอง

ผลต่างจากการแบ่งย่อยของนิวตัน

การประมาณค่าในช่วงโดยการใช้ผลต่างจากการแบ่งย่อยของนิวตัน(Newton’s divided-difference interpolation polynomial) เป็นวิธีการที่ง่ายต่อการเข้าใจและเป็นวิธีที่นิยมกันทั้วไป หลักการในภาพรวมคือ การหาฟังก์ชั่น คือ f(x) ฟังก์ชั่นหนึ่งจากข้อมูลตำแหน่งต่างๆ ทั้งหมดที่กำหนดมาให้ และเพื่อให้เกิดความเข้าใจที่ชัดเจน

การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น

ฟังก์ชั่น f(x)เพื่อใช้ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น (linear interpolation) สามารถประดิษฐ์ขึ้นได้จากข้อมูล 2 ข้อมูล ที่ตำแหน่ง X0 และ X1 สมมุติว่าเราต้องการหาค่าฟังก์ชั่นของเบสเซล J0 ที่ตำแหน่ง X ใดๆ โดยช่วงที่อยู่ในระหว่าง 2 ตำแหน่งนี้ โดยเรารู้ค่าของฟังก์ชั่นนี้ที่ 2 ตำแหน่ง เช่นที่ X0 = 2.0 และ X1 = 4.0 ค่าฟังก์ชั่นของเบสเซลที่ 2 ตำแหน่งนี้ คือ J0(2.0) = 0.2239 และ J0(4.0) = -0.3971  ตามลำดับ

วิธีที่ง่ายที่สุดก็คือการเชื่อมต่อค่าทั้งสองนี้เข้าด้วยกันโดยใช้เส้นตรง และจากสมการเส้นตรงนี้เอง เราจึงสามารถประมาณค่าฟังก์ชั่นของเบสเซลที่ X ใดๆ ในช่วงนี้ได้

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดค่าฟังก์ชั่นของเบสเซลให้ที่สองตำแหน่งคือ f(X0 = 2.0) = 0.2239 และ f(X1 = 4.0) = -0.3971 ดังแสดงในรูป 4.2 จะคำนวณหาค่าฟังก์ชั่นของเบสเซลที่ X=3.2 โดยใช้การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับค่าฟังก์ชั่นของเบสเซลที่แท้จริงจากตาราง 4.1

จากสมการ (4.3) ฟังก์ชั่นของเบสเซลที่ X=3.2 จากการประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น คือ

f( x=3.2 ) = 0.2239 + (3.2 – 2.0) (-0.3971-0.2239)/(4.0-2.0)

= 0.2239 – 0.3726

f(3.2) = -0.1487                                                                             (4.4)

ส่วนค่าความผิดพลาดจากค่าที่แท้จริงคือ -0.3202 จากตาราง 4.1 สามารถคำนวณหาค่าได้ดังนี้

ε = ( -0.3202 + 0.1487 ) / ( -0.3202 ) *100%  = 53.56%

โดยผมสอนทำโจทย์เกี่ยวกับ .LAGRANGE INTERPOLATION ไว้แล้ว ตามลิงค์นี้เลยครับ YouTube Preview Image

(ขอบคุณข้อมูลจากแหล่งที่มานี้ด้วยนะครับ )http://ced.kmutnb.ac.th/scc/SlideNumerical/Chapter2/Lagrange.htm

http://ced.kmutnb.ac.th/scc/SlideNumerical/Chapter3/Newton.htm

https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B9%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%A2

MANUN CHALEEKUL
at GlurGeek.Com
นักศึกษา คณะวิศวะกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยกรุงเทพ
ชอบเล่นบอล ดูบอล ทุกอย่างเกี่ยวกับฟุตบอล

Leave a Reply

Copyright © 2021 GlurGeek.Com. All Rights Reserved.